Шпаргалки к экзаменам и зачётам

 

 

Почему ЗНАНИЕ математики не гарантирует УМЕНИЯ пользоваться ей в конкретном проектировании систем?

Тот, кто когда-нибудь пережил «ОЗАРЕНИЕ» легко поймет, что всякое математическое описание той или иной предметной области, это — ВСПЫШКА, которая так правильно названа «ОЗАРЕНИЕМ». Озарение «не-логично», вернее, оно «не-логично» в смысле математической логики. Если всякий акт творчества, как «не-логичный», можно считать ЧУДОМ, то все творческие люди, хотя они и не волшебники, но они... «учатся» волшебству.

Если принять во внимание, что каждое такое ЧУДО являет себя в математической форме, то НЕОБХОДИМОСТЬ владения математикой не подлежит сомнению. Тем не менее, как и принято в математике, необходимое условие еще не является условием ДОСТАТОЧНЫМ. Именно эта «недостаточность» чисто математического образования и не позволяет РЕГУЛЯРНО творить ЧУДЕСА, что легко обнаруживается при переходе от «высказываний» на естественном языке к логическим формам математики.

Известно, что в грамматическом предложении мы выделяем подлежащее и сказуемое. Подлежащим обычно является имя существительное, а роль сказуемого выполняет глагол.

Хотя процесс превращения «подлежащего» грамматической формы в «субъект» логической формы и «сказуемого» грамматической формы в «предикат» логической формы потребовал тысячелетий развития культуры научного мышления, мы должны зафиксировать терминологическое различие грамматической формы от логической формы. Это означает, что термин «подлежащее» как и термин «сказуемое» мы будем использовать для описания грамматической формы предложения, а термины «субъект» и «предикат» только для описания логической формы суждения.

Уже грамматическая форма предложения намечает расчленение явлений наблюдаемого мира на два больших класса:

— класс предметов (пространственно-протяженных тел);

— класс движений (характеризуемых длительностью).

Различие между ОПЕРАТОРОМ и ФУНКЦИЕЙ передачи управления — это лишь одно различие. Хотелось провести еще одно расчленение: расчленение ОБЪЕКТА, над которым осуществляется ОПЕРАЦИЯ, и самого ОПЕРАТОРА, который осуществляет эту операцию.

Учитывая специфические особенности вычислительных машин и специфику самой математики, мы можем дать следующий классификатор ВСЕХ возможных задач (систем УРАВНЕНИЙ), которые решали, решают и будут решать вычислительные машины.

СУЩЕСТВУЕТ список ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ, с которыми мы можем встретиться в задачах программирования. Они различаются друг от друга «РАЗМЕРНОСТЬЮ». Размерность является «ИМЕНЕМ КАЧЕСТВА» математического объекта. Hабор «ИМЕH» мы берем из языка ГЕОМЕТРИИ. Фактически это «размерность симплекса» комбинаторной топологии. Итак:

Hульмерный симплекс — «точка».

Одномерный симплекс — «отрезок» или 1-длина.

Двумерный симплекс — «площадка» или 2-длина.

Трехмерный симплекс — «объем» или 3-длина.

Четырехмерный симплекс — ... или 4-длина.

. . .

K. K-мерный симплекс — ... или K-длина.

Учитывая изложенное, полезно добавить «собственное имя точки» как 0-длина (рис. 1).

Что такое мера Лебега?

Обобщение понятия длина

0-длина — точка [L⁰ T⁰] или 0-матрица

1-длина — отрезок [L¹ T⁰] или 1-матрица

2-длина — площадь [L² T⁰] или 2-матрица

3-длина — объем [L³ T⁰] или 3-матрица

4-длина — тор [L⁴ T⁰] или 4-матрица

5-длина — гипертор [L⁵ T⁰] или 5-матрица

……………………………………………..

n-длина n-матрица

Рис. 1

Геометрические объекты могут быть представлены в форме n-матриц (рис. 2).

Геометрические объекты как n-матрицы Г.Крона:

L⁰ — точка, 0-длина или 0-матрица: L⁰ =

 

L¹ — отрезок, 1-длина или 1-матрица: L_х¹ =

a

b

c

d

L² — площадь, 2-длина или 2-матрица:

L_X

L_Y

a

b

c

d

e

1

g

h

i

j

k

l

m

n

g

p

r

c

t

f

L³ — объем, 3-длина или 3-матрица:

L⁴, 4-длина или 4-матрица:

L⁴ = L * L³

Рис. 2

Превращение геометрического объекта соответствующей размерности в математический ТЕКСТ предполагает введение той или иной системы координат. Очевидно, что «размерность» координатной системы (для размещения геометрического объекта) должна быть как минимум НА ЕДИНИЦУ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШЕ.

Так, например, для помещения «точки» нам необходима координатная система типа «отрезок» или 1-длина. В вычислительной машине может располагаться лишь конечное число точек, т. е. точки на отрезке «занумерованы» в виде булевых переменных. Для определения положения точки на отрезке нам НЕОБХОДИМЫ ДВЕ СИСТЕМЫ КООРДИHАТ!

Что это означает? Две системы координат позволяют ЗАДАВАТЬ ВОПРОС примерно такого типа: «Является ли число А координатой ТОЙ ЖЕ САМОЙ ТОЧКИ, которая обозначена числом В в другой системе координат?» Если ответ положителен, то мы говорим «ДА». Если ответ отрицателен, то мы говорим «НЕТ». Приведенная иллюстрация показывает нам математически ТОЧНОЕ понятие «булевой переменной».

Даваемое понятие «АЛГОРИТМ» является точным описанием ПРАВИЛА, которое обеспечивает нахождение «второго имени» объекта данной размерности, данного в первой системе координат (это задание называется «исходными данными»), а «второе имя» (это называется «решением» поставленной задачи) — имя того же самого объекта в «конечной» (второй) системе координат.

Точно так же, как мы дали «имена» самим геометрическим объектам, можно дать «имена» всем возможным системам координат.

Такой перенумерованный список всех возможных систем координат и дает нам правило для записи алгоритмов.

Алгоритм определяется ТРЕМЯ «ИМЕНАМИ»:

Именем геометрического объекта.

Именем исходной системы координат.

Именем «желательной» или «конечной» системы координат.

После изложенной точки зрения на все виды задач кажется, что задачи теории чисел не могут быть выражены на «языке геометрии». Это неверно. Первый пример использования геометрических образов в решении задач теории чисел продемонстрировал еще Гаусс.

Даны ДВА ВИДА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ:

Преобразование КООРДИНАТ.

«ТОЧЕЧНОЕ» преобразование.

Эти два вида преобразований в МАТЕМАТИКЕ считаются «эквивалентными», то есть ТОЖДЕСТВЕННЫМИ.

В преобразовании КООРДИНАТ мы имеем дело с ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ «ТОЧКОЙ», а в «ТОЧЕЧНОМ» преобразовании мы имеем дело с ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ «СИСТЕМОЙ КООРДИНАТ». В первом случае НЕИЗМЕННЫМ объектом преобразования (то есть ТЕМ, что ОСТАЕТСЯ БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ или ИНВАРИАНТНО) является «ТОЧКА», а во втором случае НЕИЗМЕHHЫМ объектом в преобразовании является «СИСТЕМА КООРДИHАТ». В первом случае ИЗМЕНЯЕТСЯ — «СИСТЕМА КООРДИНАТ», а во втором случае ИЗМЕНЯЕТСЯ — «ТОЧКА».

Мы вполне согласны, что эти ДВЕ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ на преобразование МАТЕМАТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ, но мы не можем сказать, что эта эквивалентность математическая сохраняется, когда мы переходим к ПРИЛОЖЕНИЯМ МАТЕМАТИКИ, т. е. К ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТИ.