История развития математики.
Почти с самого зарождения математики она была неразрывно связана с практической деятельностью человека. С появлением первых государств (Древнего Египта, Вавилона, Китая) возникает потребности в развитии и углублении математических знаний. Тогда формулы представлялись в виде неких рецептов, следуя которым можно получить результат.
Древнегреческие философы и математики очень много сделали для развития математики. Это и практика строгих доказательств, введенная Фалесом, и замечательные теоремы Пифагора, и методы Архимеда вычисления объемов различных тел, и аксиоматическая система геометрии Евклида, и система буквенных обозначений Диофанта.
Бурное развитие как самой математики, так и ее приложений наблюдается в Новое время. Переход к новым капиталистическим отношениям, ослабление влияния церкви на философию и науку развязывают руки исследователям, как Г. Галилей или Р.Декарт, известный в математике благодаря методу координат – своеобразному мостику между алгеброй и геометрией.
Настоящей революцией в математике и ее приложениях стало открытие дифференциального и интегрального исчисления И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Ввиду того что характерной особенностью почти всех физических процессов является наличие непрерывного движения, изменения во времени некоторых числовых параметров, то пределы (а с ними и интегралы и производные) оказались важнейшим инструментом для исследования непрерывных функций.
XVIII век характеризуется окончательной математизацией физики. Крупнейшие математики того времени: Л. Эйлер, Ж.-Л.Лагранж, П. С. Лаплас развивают анализ бесконечно-малых, делая его основным орудием исследования в естествознании.
XIX век: математический дух витал над всеми областями знания, которые тогда считались науками, а сама математика была эталоном строгости и непротиворечивости, к которому должны стремиться остальные науки. Параллельно шли работы по, так называемым, основанием математики: математический аппарат (в особенности метод бесконечно-малых) на протяжении нескольких веков использовался во многих приложениях и зарекомендовал себя как эффективное орудие естествознания; но объяснения почему все применяемые методы правильны с точки зрения логической строгости, не было – ну согласуются с наблюдениями и ладно; но это не значит, что мы застрахованы от “сбоев” в будущем. В связи с этим было разработано исчисление предикатов – система логических аксиом и правил вывода из них новых утверждений.
В XX веке бурное развитие математики продолжилось. Физические приложения не ограничивались уже одним дифференциальным и интегральным исчислениями: в ядерной физике начали широко использовать многомерную геометрию и теорию групп; в теории относительности замечательные применения нашла неевклидова геометрия. Теория вероятностей возможно даже обогнала математический анализ по числу приложений: методы математической статистики используют в огромном числе наук, начиная с физики и заканчивая психологией и лингвистикой. Развитие математической логики, вызванное программой Гильберта обоснования математики, привело к появлению компьютеров, которые изменили мировоззрение современного человека.
Основные методы математизации.Важнейший метод – это математическое моделирование. Он состоит в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либо похожий объект в математике. Этот пример показывает еще одну идею моделирования – некоторое упрощение, отбрасывание лишней, не нужной информации
Важнейшим моментом является то, чтобы при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобы она перестала достаточно хорошо для нас описывать явление. Одна и та же математическая модель может описывать много разнообразных явлений в различных областях. Основные черты метода математического моделирования заключатся в следующем: абстракция, некоторое упрощение предметной области, выделение только существенных для исследователя черт рассматриваемого явления; выявление нужных параметров или характеристик процесса, которые и составляют предмет дальнейшего исследования; выявление существенных взаимоотношений между этими параметрами; поиск нужного математического объекта, который будет описывать все исследуемые параметры и отношения между ними; применение математического аппарата к этому объекту для описания исходного явления.
Адекватность математики при отражении реальности в своих моделях связана с тем, что сама математика, ее понятия и структуры являются не чем иным, как абстракцией самой объективной реальности.
Можно отдельно выделить метод математизации, который неявно является частью математического моделирования: формализация. Он состоит в том, что все изучаемые объекты реальности и отношения между ними заменяются наборами символов и отношений между ними в некотором искусственном языке.
В конце XIX – начале XX века процесс формализации математики достиг своей кульминации. Это связано с так называемой программой Гильберта обоснования математики, предполагающей создание формального языка с соответствующими правилами, в котором можно было выразить и доказать все математические теоремы.
Для дальнейших пояснений введём понятие о 3-м методе математизации – аксиоматизации. Она состоит в том, что в некоторой области знания из всех истинных утверждений выделяется набор некоторых простейших утверждений или аксиом, из которых посредством логического вывода можно в принципе получить любое утверждение этой области. Программа Гильберта включала в себя аксиоматизацию всей математики на основе аксиом арифметики и теории множеств. Оставались неясными два вопроса: будет ли этот список аксиом непротиворечивым и будет ли этот система аксиом полной? Австрийский логик Курт Гёдель доказал так называемую теорему о неполноте, которая утверждала, что если система аксиом арифметики непротиворечива, то существует такое утверждение, что ни оно само, ни его отрицание не доказуемы. Это означает, что условия непротиворечивости и полноты арифметики и математики в целом несовместны. Таким образом, Теорема Гёделя показала пределы возможностей аксиоматического метода в самой математике.
Пределы и проблемы математизации.Проблемы, с которыми сталкиваются исследователи, применяющие математические методы в других науках, можно разделить на два типа. Первые – связанные с проблемами в самой математике, то есть когда, например, математическая модель явления построена, а ее исследование затруднено из-за того, что подходящие методы еще не разработаны, либо их разработка – нерешенная пока проблема (в математике очень много своих “внутренних” проблем). Второй тип связан с самими областями знания, которые подвергаются математизации: либо сложно построить математическую модель, либо построенная и изученная модель неправильно описывает изучаемое явление.
Заключение
Итак, в процессе математизации наук в основном используются три метода: математическое моделирование, формализация и аксиоматизация.
Моделирование представляет собой некоторое отображение явления объективной реальности в структуры и множества математических объектов. При этом должны сохраняться необходимые для исследователя отношения между объектами предметной области.
Формализация – процесс “кодирования” объектов изучаемой реальности некоторым искусственным языком, и формулировка основных законов исследуемого явления на этом языке.
Аксиоматизация предполагает выявление простейших понятий и аксиом области исследования, из которых посредством логических правил получаются все теоремы (истинные утверждения) данной теории.
Проблемы применения математических методов в различных науках связаны с самой математикой (математическое изучение моделей), с областью моделирования (сложно построить модель из-за размытости границ явления) и c интерпретацией модели (построенная модель неправильно описывает явление).
Таким образом, можно сделать главный вывод. Математика позволяет хранить, транслировать и использовать массивы информации вне зависимости от содержания последней и в этом качестве является неотъемлемой составляющей любой области науки. Вместе с тем, она ни в коем случае не должна рассматриваться как универсальный критерий истинности, поскольку имеет пределы применимости для описания окружающего нас мира.