Зависимые и независимые случайные величины.
2 случ величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Следовательно, условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.
Теорема: Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих:
F(x, y)=F1(x)F2(y)
Доказательство: а) необходимость. Пусть X, Y –независимы, тогда X<x, Y<y тоже независимы и P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y); F(x,y)=F1(x)F2(y).
б) Достаточность: Пусть F(x, y)=F1(x)F2(y) => P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y) => X, Y- независимы.
Следствие: Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:
f(x, y)=f1(x)f2(y)
Доказательство: а) необходимость. Пусть X и Y – независимые непрерывные случайные величины. Тогда F(x,y)=F1(x)F2(y). Дифференцируя это равенство по x, затем по y, имеем:
или f(x, y)=f1(x)f2(y).
б) достаточность: Пусть f(x, y)=f1(x)f2(y). Интегрируя по х, затем по у, получим
или F(x,y)=F1(x)F2(y). => X, Y – независимы.