Функция распределения случайной величины.
Рассмотрим дискретную случайную величину Х со своими значениями, каждое из которых является возможным, но не равновозможным: p(x1)=p1 … p(xn)=pn. Сумма pi=1- критерий сходимости.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, которое связывает между собой значения всякой величины и ее вероятности.
|
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Функция распределения:
Для непрерывной случайной величины невозможно составить закон распределения, поэтому для количественной характеристики удобно пользоваться не вероятностью отдельного события Х, а вероятностью события Х<x, где х – некоторая текущая переменная. Эти вероятности образуют некоторую функцию оси X.
F(x)=F(X<x)- интегральный закон распределения.
Свойства:
1. Функция F(x)-неубывающая функция.
Любой x2>x1 => F(x2)≥F(x1).
Д-во: Пусть х2>х1. Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее х2, можно подразделить на 2 несовместных события:
1) Х примет значение, меньшее х1, с вероятностью Р(Х<x1)
2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству x1≤X<x2, с вероятностью Р(x1≤X<x2).
По теореме сложения имеем
P(X<x2)=P(X<x1)+P( x1≤X<x2). Отсюда: P(X<x2)-P(X<x1)= P( x1≤X<x2) или F(x2)-F(x1)=P(x1≤X<x2). Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)≥0, или F(x2)≥F(x1), чтд.
2. F(-∞)=0
3. F(∞)=1
4. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]
0≤F(x)≤1
Д-во: Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее 1.
Функция распределения есть вероятность того, что случайная величина X, в результате нашего опыта попадает левее т. х.
Для дискретных случайных величин также можно составить функцию распределения:
F(x)=P(X<x)=
.
Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.
P(α≤x≤β)=F(β)-F(α).
Вероятность попадания для непрерывной случайной величины в любое отдельное значение =0.