Шпаргалки к экзаменам и зачётам

студентам и школьникам

  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

Линейная алгебра

Понятие линейного пространства

Постановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество clip_image001, в котором определены «сумма» clip_image002 любых двух элементов clip_image003 и clip_image004 и «произведение» clip_image005 любого элемента clip_image003[1] на любое число clip_image006.

План решения.

Пусть, задано некоторое множество clip_image001[1], элементы которого будем называть векторами (независимо от природы элементов множества). Наряду с множеством векторов будем рассматривать числовое поле clip_image007, под которым подразумевается поле комплексных чисел clip_image008 либо поле вещественных чисел clip_image009. Элементы clip_image001[2] будем обозначать латинскими малыми буквами, а элементы множества clip_image007[1] – греческими малыми буквами.

Определение. Пара clip_image010 называется линейным пространством, если (clip_image011) задан закон, по которому любой паре векторов clip_image012 сопоставлен вектор, называемый их суммой и обозначаемый символом clip_image002[1], причем для любых clip_image013 выполнено: (clip_image014) clip_image015; (clip_image016) clip_image017; (clip_image018) для любого clip_image019 существует нуль-вектор clip_image020, что clip_image021; (clip_image022) для любого clip_image019[1] существует противоположный вектор clip_image023, что clip_image024; (clip_image025) задан закон, по которому для любого clip_image019[2] и любого числа clip_image026 сопоставлен вектор clip_image005[1], называемый произведением числа clip_image006[1] на вектор clip_image003[2], причем выполнено: (clip_image027) clip_image028; (clip_image029) clip_image030; (clip_image031) clip_image032; (clip_image033) clip_image034.

Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.

1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в clip_image001[3], т.е. верно ли, что clip_image035 и clip_image036

clip_image037?

Если нет, то множество clip_image001[4] не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.

2. Находим нулевой элемент clip_image038 такой, что clip_image039

clip_image040.

Если такого элемента не существует, то множество clip_image001[5] не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3. Для каждого элемента clip_image019[3] определяем противоположный элемент clip_image041 такой, что

clip_image024[1].

Если такого элемента не существует, то множество clip_image001[6] не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. clip_image042 и clip_image043:

clip_image044

Если хотя бы одна из этих аксиом нарушается, то множество clip_image001[7] не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество clip_image001[8] – линейное пространство.

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов clip_image003[3] и clip_image004[1] и произведение любого элемента clip_image003[4] на любое число clip_image045?

Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма clip_image046, произведение clip_image047.

Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, т.к. сумма двух векторов лежащих на одной оси есть вектор лежащий на той же оси и произведение вектора на число также будет вектором на той же оси.

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.

Аксиомы группы clip_image011[1]:

clip_image014[1]: clip_image048 – выполняется;

clip_image016[1]: clip_image049 – выполняется;

clip_image018[1]: в качестве нуля возьмем нуль-вектор, т.к. clip_image050;

clip_image022[1]: в качестве противоположного элемента возьмем противоположный вектор clip_image051, т.к. clip_image052.

Аксиомы группы clip_image025[1]:

clip_image027[1]: clip_image053 – выполняется;

clip_image029[1]: clip_image054 – выполняется;

clip_image031[1]: clip_image055 – выполняется;

clip_image033[1]: clip_image056 – выполняется.

Т.е. множество всех векторов, лежащих на одной оси с суммой clip_image046[1] и произведением clip_image047[1] является линейным пространством.

Last Updated on Sunday, 24 January 2016 15:08