Понятие линейного пространства

Постановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество , в котором определены «сумма» любых двух элементов и и «произведение» любого элемента на любое число .

План решения.

Пусть, задано некоторое множество , элементы которого будем называть векторами (независимо от природы элементов множества). Наряду с множеством векторов будем рассматривать числовое поле , под которым подразумевается поле комплексных чисел либо поле вещественных чисел . Элементы будем обозначать латинскими малыми буквами, а элементы множества – греческими малыми буквами.

Определение. Пара называется линейным пространством, если () задан закон, по которому любой паре векторов сопоставлен вектор, называемый их суммой и обозначаемый символом , причем для любых выполнено: () ; () ; () для любого существует нуль-вектор , что ; () для любого существует противоположный вектор , что ; () задан закон, по которому для любого и любого числа сопоставлен вектор , называемый произведением числа на вектор , причем выполнено: () ; () ; () ; () .

Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.

1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в , т.е. верно ли, что и

?

Если нет, то множество не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.

2. Находим нулевой элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3. Для каждого элемента определяем противоположный элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. и :

Если хотя бы одна из этих аксиом нарушается, то множество не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество – линейное пространство.

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .

Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, т.к. сумма двух векторов лежащих на одной оси есть вектор лежащий на той же оси и произведение вектора на число также будет вектором на той же оси.

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: в качестве нуля возьмем нуль-вектор, т.к. ;

: в качестве противоположного элемента возьмем противоположный вектор , т.к. .

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется.

Т.е. множество всех векторов, лежащих на одной оси с суммой и произведением является линейным пространством.

Линейная зависимость векторов

Постановка задачи. Исследовать на линейную зависимость систему векторов , , .

План решения.

Определение. Система векторов называется линейно-зависимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно не равно нулю, что выполнено

.

Теорема. Для того, чтобы система, состоящая из трех векторов, была линейно-зависимой, необходимо и достаточно, чтобы тройка векторов была компланарной.

1. Составляем смешанное произведение векторов:

.

2. Если определитель в правой части равенства равен нулю, то данная система векторов линейно зависима; если же определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы.

Замечание. Если необходимо исследовать на линейную зависимость систему функций , то необходимо составить определитель Вронского

.

Если данный определитель равен нулю, то система функций линейно зависима.

Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

Пример 1.

Составляем определитель из координат данных векторов:

.

Так определитель не равен нулю, то данная система векторов линейно независима.

 

Пример 2.

на .

Составим определитель Вронского:

Т.е. данная система функций линейно зависима.

Системы линейных однородных уравнений

Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы

 

 

План решения.

1. Записываем матрицу системы:

и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:

.

Размерность пространства решений равна . Если , то однородная система имеет единственное нулевое решение, если , то система имеет бесчисленное множество решений.

2. Выбираем базисных и свободных переменных. Свободные переменные обозначаем . Затем базисные переменные выражаем через свободные, получив таким образом общее решение однородной системы линейных уравнений.

3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.

Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:

1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;

2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;

3. перестановка строк местами;

4. преобразования 1–3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:

Полагаем , тогда

              

Базис:

.

Размерность линейного пространства решений равна 3.

Преобразование координат вектора

Постановка задачи. Вектор в базисе имеет координаты . Найти координаты вектора в базисе , где

План решения.

Переход от первого базиса ко второму задается матрицей:

.

Переход от второго базиса к первому задается обратной матрицей .

Переход от координат вектора относительно первого базиса к координатам этого же вектора относительно второго базиса осуществляется так же с помощью матрицы .

1. Выписываем матрицу перехода:

.

2. Находим обратную матрицу .

3. Координаты искомого вектора находим по формуле:

,

где и – столбцы координат вектора в базисах и .

Задача 4. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе .

Переход от первого базиса ко второму задается матрицей

.

Переход от второго базиса к первому задается обратной матрицей .

Переход от координат вектора относительно первого базиса к координатам этого же вектора относительно второго базиса осуществляется так же с помощью матрицы .

Найдем обратную матрицу. Вычисляем определитель:

.

Находим алгебраические дополнения.

;

;

.

Обратная матрица:

.

Тогда

.

Значит, координаты вектора в базисе будут

.

Линейные операторы

Постановка задачи. Пусть в некотором базисе линейного пространства задан произвольный вектор . Является ли линейным оператор такой, что

,

где – некоторые функции переменных.

План решения.

При линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Т.е. если в функциях присутствуют нелинейные слагаемые или среди слагаемых есть свободный член, то преобразование не является линейным.

Задача 5. Пусть . Являются ли линейными следующие преобразования.

Здесь линейным преобразованием будет только преобразование , т.к. при линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Матрица линейного оператора :

Действия с операторами и их матрицами

Постановка задачи. В некотором базисе трехмерного пространства заданы линейные преобразования

где – произвольный вектор.

Найти координаты вектора , где – многочлен относительно операторов и .

План решения.

Так как при сложении операторов их матрицы складываются, при умножении на число – умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти матрицу , где и – матрицы операторов и . Затем столбец координат вектора находим по формуле , где – столбец координат вектора .

1. Выписываем матрицы операторов и :

.

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц находим матрицу :

.

3. Находим столбец координат образа вектора :

.

Откуда .

Задача 6. Пусть , , . Найти

.

Матрицы операторов и :

.

Находим:

.

.

Таким образом .

Преобразование матрицы оператора

Постановка задачи. Найти матрицу некоторого оператора в базисе , где

если в базисе его матрица имеет вид

.

План решения.

При переходе от базиса к базису матрица оператора преобразуется по формуле

,

где – матрица перехода от базиса к базису .

1. Выписываем матрицу перехода:

.

2. Находим обратную матрицу .

3. Находим матрицу оператора в базисе по формуле

.

Задача 7. Найти матрицу в базисе , где

,

если она задана в базисе .

.

Матрица в базисе находится по формуле

.

где

.

Найдем обратную матрицу .

Определитель:

.

Алгебраические дополнения:

;

;

.

Обратная матрица:

.

Находим матрицу в новом базисе:

Т.е. матрица в базисе имеет вид:

.

Матрица, образ, ядро оператора

Постановка задачи. Задан оператор , осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов . Доказать линейность, найти матрицу, образ и ядро оператора .

План решения.

1. По определению доказываем линейность оператора , используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что и

и .

2. Строим матрицу оператора .

3. Находим образ и ядро оператора .

Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость .

Если , то .

Оператор является линейным, если

и .

Проверяем

.

Т.е. оператор является линейным.

Его матрица:

.

Область значений оператора – это множество всех векторов

.

Ядро линейного оператора – это множество всех векторов, которые отображает в нуль-вектор:

.

Собственные значения и собственные векторы оператора

Постановка задачи. Найти собственные значения и собственные векторы оператора , заданного в некотором базисе матрицей

.

План решения.

Собственные значения оператора являются корнями его характеристического уравнения .

1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни (среди которых могут быть и кратные).

2. Для каждого собственного значения находим собственные вектора. Для этого записываем однородную систему уравнений

и находим ее общее решение.

3. Исходя из общих решений каждой из однородных систем, выписываем собственные векторы .

Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

.

Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:

.

Собственные значения: .

Найдем собственные вектора:

:    

:    

Собственные вектора:

.

Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа

Постановка задачи. Привести квадратичную форму

к каноническому виду методом Лагранжа.

План решения.

Метод Лагранжа заключается в последовательном выделении полных квадратов. Не ограничивая общности рассуждений, полагаем, что .

где – квадратичная форма, в которую входят лишь переменные .

Делаем замену

,

после которой

,

где .

Предложенный алгоритм применяем к и после конечного числа шагов приходим к каноническому виду квадратичной формы:

.

Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

.

Применяя метод Лагранжа, получаем:

где .

Канонический вид квадратичной формы. Ортогональное преобразование

Постановка задачи. Привести квадратичную форму

к каноническому виду ортогональным преобразованием.

План решения.

Теорема. Любую квадратичную форму

ортогональным преобразованием всегда можно привести к следующему каноническому виду:

,

где – корни характеристического уравнения , встречающиеся столько раз, какова их кратность.

Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Матрица квадратичной формы:

.

Найдем характеристический полином матрицы квадратичной формы:

Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

.