Математика и естествознание. Возможности применения математики и компьютерного моделирования
Роль математики в развитии познания была осознана довольно давно. Уже в античности была создана геометрия Евклида, сформулирована теорема Пифагора и т.п. А Платон у входа в свою знаменитую Академию начертал девиз: "Негеометр - да не войдет". В Новое время один из основателей экспериментального естествознания Г. Галилей говорил о том, что тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Поскольку, согласно Галилею, "книга Вселенной написана на языке математики", то эта книга доступна пониманию для того, кто знает язык математики И. Кант считал, что в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько в ней имеется математики. Иначе говоря, учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика.
Математические понятия есть не что иное, как особые идеальные формы освоения действительности в ее количественных характеристиках. Они могут быть получены на основе глубокого изучения явлений на качественном уровне, раскрытия того общего, однородного содержания, которое можно затем исследовать точными математическими методами.
Применение математических методов в науке и технике за последнее время значительно расширилось, углубилось, проникло в считавшиеся ранее недоступными сферы. Эффективность применения этих методов зависит как от специфики предмета данной науки, степени ее теоретической зрелости, так и от совершенствования самого математического аппарата, позволяющего отобразить все более сложные свойства и закономерности качественно многообразных явлений.
Математические методы надо применять разумно, чтобы они не "загоняли ученого в клетку" искусственных знаковых систем, не позволяя ему дотянуться до живого, реального материала действительности. Количественно-математические методы должны основываться на конкретном качественном, фактическом анализе данного явления, иначе они могут оказаться хотя и модной, но беспочвенной, ничему не соответствующей фикцией. Указывая на это обстоятельство, А. Эйнштейн подчеркивал, что "самая блестящая логическая математическая теория не дает сама по себе никакой гарантии истины и может не иметь никакого смысла, если она не проверена наиболее точными наблюдениями, возможными в науке о природе".
Говоря о стремлении "охватить науку математикой", В. И. Вернадский писал, что "это стремление, несомненно, в целом ряде областей способствовало огромному прогрессу науки XIX и XX столетий. Но ... математические символы далеко не могут охватить всю реальность и стремление к этому в ряде определенных отраслей знания приводит не к углублению, а к ограничению силы научных достижений".
История познания показывает, что практически в каждой частной науке на определенном этапе ее развития начинается (иногда весьма бурный) процесс математизации. Особенно ярко это проявилось в развитии естественных и технических наук (характерный пример - создание новых "математизированных" разделов теоретической физики). Но этот процесс захватывает и науки социально-гуманитарные - экономическую теорию, историю, социологию, социальную психологию и др., и чем дальше, тем больше. Например, в настоящее время психология стоит на пороге нового этапа развития - создания специализированного математического аппарата для описания психических явлений и связанного с ними поведения человека. В психологии все чаще формулируются задачи, требующие не простого применения существующего математического аппарата, но и создания нового. В современной психологии сформировалась и развивается особая научная дисциплина - математическая психология.
Применение количественных методов становится все более широким в исторической науке, где благодаря этому достигнуты заметные успехи. Возникла даже особая научная дисциплина - клиометрия (буквально - измерение истории), в которой математические методы выступают главным средством изучения истории. Вместе с тем надо иметь в виду, что как бы широко математические методы ни использовались в истории, они для нее остаются только вспомогательными методами, но не главными, определяющими.
Масштаб и эффективность процесса проникновения количественных методов в частные науки, успехи математизации и компьютеризации во многом связаны с совершенствованием содержания самой математики, с качественными изменениями в ней. Современная математика развивается достаточно бурно, в ней появляются новые понятия, идеи, методы, объекты исследования и т.д., что, однако, не означает "поглощения" ею частных наук. В настоящее время одним из основных инструментов математизации научно-технического прогресса становится математическое моделирование. Его сущность и главное преимущество состоит в замене исходного объекта соответствующей математической моделью и в дальнейшем ее изучении (экспериментированию с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов.
Математические модели являются разновидностями знаково-символических моделей. Так, формула окружности в знаковой форме представляет все ее свойства. Все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями изучаемых ими явлений.
Модель не тождественна явлению, так как состоит из искусственных объектов — знаков. Она только в логически связанном виде представляет некоторые его аспекты и дает приближение к реальности. Например, гидродинамика — это модель движения жидкости.
В модели явным образом перечислены все предположения, которые положены в ее основу и используются при ее построении. Так, при формализации содержательной математической теории перечисляются все аксиомы и правила вывода формул, и никакие другие выражения, кроме допустимых, там просто не могут появиться, разве что по ошибке.
Предположения, положенные в основу модели природного явления, могут быть весьма грубыми. Так, ньютоновская модель Солнечной системы использовала такие предположения: небесные тела суть материальные точки соответствующей массы, локализованные в их центрах тяжести, между которыми действует сила, равная произведению масс, деленному на квадрат расстояния между указанными центрами и умноженная на некоторый коэффициент, вычисленный экспериментально. При всей грубости такой модели она давала возможность предсказывать расположение небесных тел на длительный срок и даже существование не наблюдавшихся ранее небесных тел по их взаимодействиям с наблюдаемыми телами. Так, в 1846 г. У. Леверье и Дж. Адамсом была открыта “на кончике пера” планета Нептун, а в 1930 г. П. Лоуэллом — планета Плутон. Более точная релятивистская модель позволила объяснить поведение Меркурия, которое для прежней модели было аномалией.
В истории науки одно и то же явление нередко моделировалось по-разному. Для объяснения света предлагались корпускулярные и волновые модели, пока не появилась электромагнитная. Каждая из этих моделей требовала своего математического описания. Корпускулярная оптика пользовалась средствами евклидовой геометрии и позволяла вывести законы отражения и преломления света. Волновая модель использовала уже другой математический аппарат и позволяла объяснить явления интерференции и диффракции, которые не были понятны геометрической оптике.
До появления компьютеров математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления, которую не всегда доводили до формул, потому что природа оказывалась существенно сложнее модели.
Упрощение модели (например, замена нелинейной модели линейной) неизбежно означало уменьшение числа получаемых выводов, потерю части информации. При использовании компьютеров по-прежнему составляется логико-математическая модель задачи, а уже по ней составляется программа работы компьютера. Но исследователь ставит уже не ту цель, что прежде, — вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять все параметры явления. Так была построена модель последствий ядерной войны, могущих повлиять на экологию планеты.
Математическое моделирование используется и тогда, когда о физической природе известно недостаточно. В этом случае строится гипотетическая модель и из нее выводятся допускающие наблюдение следствия. Гипотетические модели выполняют эвристическую роль, например, наводят на идеи новых экспериментов.
История науки показывает важность гипотез и основанных на них моделей. Например, на основе гелиоцентрической гипотезы Николай Коперник построил математическую модель Солнечной системы.
“Планетарная модель” атома Эрнеста Резерфорда позволила Нильсу Бору рассчитывать квантовые числа электронных орбит и т. п.
В прошлом математические модели природы строили, исходя из принципа лапласовского детерминизма. Предполагалось, что между различными по времени состояниями системы существует однооднозначная связь. Однако уже в XVIII в. в науке стали применяться и статистические модели, сначала в описаниях социальных явлений, а затем и в описании природы. Дж. К. Максвелл, Людвиг Больцман и другие построили кинетическую теорию газов, основанную на гипотезе, что любой объем газа состоит из очень большого числа хаотически движущихся молекул. Оказалось, что на основе столь простых предположений можно создать богатую результатами теорию, подтверждаемую экспериментами. Так, теоретико-вероятностные модели стали основой современной физики, особенно в физике микромира. Уравнение Шредингера есть модель поведения электрона в атоме водорода, и оно служит, в принципе, теоретической основой всей химии. Решить уравнение — значит найти волновую функцию, соответствующую стационарному состоянию атома. Решений всегда существует множество, и каждому соответствует свое значение энергии. Основное состояние — состояние с минимальной энергией. Но точное решение уравнения Шредингера можно найти лишь в простейшем случае для одного электрона. С увеличением числа электронов сложность задачи катастрофически возрастает.
Математизация знаний заключается не только в использовании готовых математических структур в качестве моделей, но и в развитии математической теории: потребности “небесной механики” стимулировали создание Ньютоном “метода флюксий”, т. е. дифференциального и интегрального исчисления.