Шпаргалки к экзаменам и зачётам

Понятие линейного пространства

Постановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество , в котором определены «сумма» любых двух элементов и и «произведение» любого элемента на любое число .

План решения.

Пусть, задано некоторое множество , элементы которого будем называть векторами (независимо от природы элементов множества). Наряду с множеством векторов будем рассматривать числовое поле , под которым подразумевается поле комплексных чисел либо поле вещественных чисел . Элементы будем обозначать латинскими малыми буквами, а элементы множества – греческими малыми буквами.

Определение. Пара называется линейным пространством, если () задан закон, по которому любой паре векторов сопоставлен вектор, называемый их суммой и обозначаемый символом , причем для любых выполнено: () ; () ; () для любого существует нуль-вектор , что ; () для любого существует противоположный вектор , что ; () задан закон, по которому для любого и любого числа сопоставлен вектор , называемый произведением числа на вектор , причем выполнено: () ; () ; () ; () .

Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.

1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в , т.е. верно ли, что и

?

Если нет, то множество не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.

2. Находим нулевой элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3. Для каждого элемента определяем противоположный элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. и :

Если хотя бы одна из этих аксиом нарушается, то множество не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество – линейное пространство.

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .

Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, т.к. сумма двух векторов лежащих на одной оси есть вектор лежащий на той же оси и произведение вектора на число также будет вектором на той же оси.

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: в качестве нуля возьмем нуль-вектор, т.к. ;

: в качестве противоположного элемента возьмем противоположный вектор , т.к. .

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется.

Т.е. множество всех векторов, лежащих на одной оси с суммой и произведением является линейным пространством.