Шпаргалки к экзаменам и зачётам

Матрица, образ, ядро оператора

Постановка задачи. Задан оператор , осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов . Доказать линейность, найти матрицу, образ и ядро оператора .

План решения.

1. По определению доказываем линейность оператора , используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что и

и .

2. Строим матрицу оператора .

3. Находим образ и ядро оператора .

Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость .

Если , то .

Оператор является линейным, если

и .

Проверяем

.

Т.е. оператор является линейным.

Его матрица:

.

Область значений оператора – это множество всех векторов

.

Ядро линейного оператора – это множество всех векторов, которые отображает в нуль-вектор:

.