Шпаргалки к экзаменам и зачётам

Линейные операторы

Постановка задачи. Пусть в некотором базисе линейного пространства задан произвольный вектор . Является ли линейным оператор такой, что

,

где – некоторые функции переменных.

План решения.

При линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Т.е. если в функциях присутствуют нелинейные слагаемые или среди слагаемых есть свободный член, то преобразование не является линейным.

Задача 5. Пусть . Являются ли линейными следующие преобразования.

Здесь линейным преобразованием будет только преобразование , т.к. при линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Матрица линейного оператора :