Какова «ключевая идея», которая приблизила нас к современному уровню понимания математики?
Мы формулируем эту ИДЕЮ, как идею введения КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ с инвариантом.
H. И. Лобачевский хорошо понимал, что не может СУЩЕСТВОВАТЬ одной единственной математической теории, которая охватывает бесконечное разнообразие всех явлений окружающего нас мира. Где же выход?
Множественность геометрий и множественность классов явлений природы
Если нельзя сделать по канонам Евклида ОДНОЙ, УНИВЕРСАЛЬНОЙ геометрии, то, может быть, можно сделать МНОГО РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЙ, каждая из которых и будет описывать тот или иной класс явлений природы.
Если следовать совету H. И. Лобачевского, то для каждого вида «сил», которые действуют в природе, может существовать и своя особая «геометрия».
В 1928 г. в Болонье состоялся очередной математический конгресс, и О. Веблен предложил ИНТЕГРИРУЮЩИЙ ПРИНЦИП — преобразования с инвариантом. То, что О. Веблен называет ИНВАРИАНТОМ, Схоутен (в противовес О. Веблену) называет «геометрическим объектом», а в теоретической физике это же самое, с легкой руки А. Эйнштейна, называют «тензор».
Таким образом, каждый ЗАКОН ФИЗИКИ представляется в «мире математики», как СОХРАНЕНИЕ или ИНВАРИАНТНОСТЬ некоторого геометрического образа. После того, как этот геометрический образ получает свою «интерпретацию» той или иной «ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ», мы покидаем «мир математики» и переходим в другой мир, который называется «мир математической физики».
«Имеется ИНВАРИАНТНЫЙ ОБЪЕКТ, т. е. ТЕНЗОР, или математическое выражение ЗАКОHА; дана “проекция этого инвариантного объекта” в первую или “исходную систему координат”, которая математически называется “исходные данные задачи”. “Решенная задача” или полученное на вычислительной машине “решение” — есть не что иное, как “вторая проекция” ТОГО ЖЕ САМОГО ИНВАРИАНТНОГО ОБЪЕКТА во “вторую систему координат”. Алгоритм решения или программа вычислительной машины есть не что иное, как ПРАВИЛО перехода от “исходной системы координат” в “конечную систему координат”, которая и выражает РЕШЕННУЮ ЗАДАЧУ»(рис. 3).
Рис. 3
Между идеальным миром математики и материальным миром физической реальности существует непримиримое противоречие: объекты математической теории тождественны сами себе, а реальность представляет пестрый мир изменений и действительного развития. Для получения математического описания реальности необходимо ОТКРЫВАТЬ ТО, что за видимостью ИЗМЕНЕНИЙ само остается БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ. Это и есть ИНВАРИАНТЫ, которые наука начала открывать со времен Кузанского, Коперника, Кеплера.
Итак, неумение соотнести символы математических теорий с инвариантами науки и является ответом на вопрос: «почему знание математики не гарантирует умения пользоваться ей при проектировании систем?»
Заключение
Мы рассмотрели ключевые вопросы, раскрывающие суть проблемы синтеза научных знаний с математическими знаниями.
Были рассмотрены и обсуждены четыре вопроса, имеющие непосредственное отношение к формированию научного мировоззрения:
Почему человечество создало математику?
Почему математика устроена аксиоматически?
Почему знание математики не гарантирует умения пользоваться ей в конкретном проектировании систем?
Какова ключевая идея, которая приблизила нас к современному уровню понимания математики?
Выводы
По каждому из названных вопросов получены следующие выводы:
Если бы человечество не создало математики, то оно никогда не смогло бы обладать наукой. Только мир математики и позволил человечеству получить понятие «ЗАКОН», как то, над чем не властно даже ВРЕМЯ.
Если бы математика не была устроена аксиоматически, то наука не обладала бы понятием ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство – это то, что следует из аксиом или предположений.
Неумение соотнести символы математических теорий с инвариантами (законами) науки и является ответом на вопрос: «Почему знание математики не гарантирует умение пользоваться ей при проектировании систем?».
Ключевая идея, которая приблизила нас к современному уровню понимания математики, есть идея ВВЕДЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ С ИНВАРИАНТОМ (ЗАКОНОМ).
Добавим к этим выводам еще один: проектирование устойчивого развития в системе «природа – общество – человек» будет «содержать науку в той мере, в какой может быть правильно применена в нем математика».