Проблема оснований математики
Проблема оснований математики заключается в подведении математической теории под строгие основания. Недостаточная обоснованность теории приводит к кризисам основаниях математики.
За всю историю выделяют 3 кризиса оснований математики:
Древний, связанный с осознанием несоизмеримости.
Связанный с некритическим использованием приёмов математического анализа (начало 19 в)
Новейший, связанный с появлением логико-математических парадоксов.
Из первых 2-х кризисов были найдены пути выхода. Парадоксы, связанные с 3-м кризисом не преодолены и по сей день. По этой причине выделилось 3 основные направления в решении проблемы основания: логицизм, формализм, и интуиционизм.
1-й кризис:
Первые выдающиеся достижения в античной математике принадлежали ордену пифагорейцев.Главная философская доктрина пифагорейцев сводилась к утверждению “единица – начало всего”, то есть, все вещи в мире могут быть выражены через натуральные числа и их отношения.
Ранняя пифагорейская математика была основана на так называемом "принципе соизмеримости". В соответствии с этим принципом любые две геометрические величины Q и V имеют общую меру, которая укладывается целое число раз в каждой из величин. Рассматривая отношение диагонали и стороны квадрата, пифагорейцы пришли к противоречивому выводу, что это отношение является иррациональным числом. Открытие несоизмеримости шокировало пифагорейцев и вызвало первый кризис в основаниях математики, потому что это открытие опровергало главную философскую доктрину пифагорейцев
Открытие иррациональных чисел порождало сложное математическое понятие, не имеющее связи с человеческой практикой. Оно разрушило раннюю систему и стало "поворотным пунктом" в развитии математики.
Предложенный Евдоксом «метод исчерпывания» и созданная на его основе теория измерения величин позволили преодолеть кризис.
Теория Евдокса рассматривается как одно из величайших достижений математики за всю историю ее развития и в основном совпадает с современной теорией иррациональных чисел, предложенной Дедекиндом в 1872 году.
2-й кризис
Математика XVII-XVIII веков, в основном, разрабатывала методы решения различных задач естествознания. Главным из достижений в области прикладной математики было изобретение математического анализа. Математический анализ ввел два новых сложных понятия – производная и определенный интеграл. К 80-м годам XVIII века анализ, который теперь называют классическим, уже стал зрелой наукой. Однако "Увлеченные необыкновенной силой новых приемов, легкостью, закономерностью, простотой, с которой достигалось решение все новых и новых задач, математики XVIII в. не заботились о том, насколько логически обоснованны те приемы, которые они применяли". Аппарат дифференциального и интегрального исчислений не отличался достаточной строгостью ни в определении терминов, ни в доказательстве теорем. Наиболее уязвимой частью анализа были его расплывчатые и разноречивые логические основания. Выяснилось, что свойства алгебраических функций нельзя перенести на все другие функции.
Почти с самого зарождения математического анализа неоднократно предпринимались попытки подвести под него строгие основания.
В 1821, О.Коши (1789–1857) подвел строгую базу под весь математический анализ. Взяв за исходное понятие переменной величины, Коши определил другие основные понятия анализа через соотношение между постоянными и переменными величинами. Посредством понятия о "предельном переходе" в свою очередь определялось понятие бесконечно малой величины, и далее вводились другие понятия анализа.
Однако позднее математики обнаружили у Коши логические пробелы. Желаемая строгость была наконец достигнута в 1859 К.Вейерштрассом (1815–1897).
3-й кризис
Построение теории множеств, основным творцом которой стал Г.Кантор, явилось важнейшим итогом развития математики XIX столетия.
Возрастание абстрактности мышления и повышенные требования к строгости способствовало сближению математической теории множеств с логикой. Этому немало способствовали успехи самой логики.
Уже при жизни Кантора, в период, когда ожидался небывалый триумф теории множеств, в ней обнаружили парадоксы или антиномии. Первый парадокс в 1895 г. установил сам Кантор. Этот исторически первый парадокс теории множеств носит довольно специфический характер и относится к проблеме трансфинитных чисел. В 1899 г. Кантор открывает еще один парадокс. За открытием этих двух парадоксов абстрактной теории множеств последовала целая серия других.
Парадоксы фиксировали внутренние логические трудности теории множеств, лежащие в самих ее основах - фундаментальных понятиях и способах рассуждения. Возникшую ситуацию называют 3 кризисом оснований математики.
Дело в том, что определение множества, предложенное Кантором, позволяло рассматривать в качестве элементов множество объектов любой природы. Таковыми - помимо индивидуальных предметов - могли выступать и всевозможные множества, в том числе допускалось, что множество может включать в качестве своего элемента и самое себя.
Кризис оснований математики поставил на повестку дня ряд важных философских, методологических и логических проблем математики. Наиболее острым из них был вопрос о причинах и способах устранения парадоксов. Возникают различные направления обоснования математики. Таким образом, определились три ведущие программы: логицизм, связанный с именами Фреге, Рассела; формализм, персонифицированный Гильбертом, и интуиционизм, теоретиком которого выступил Брауэр.
Импульс программе логицизма дал Фреге. Он впервые указал на связь такого рода противоречий с характером употребления языка. Постепенно эта связь осознавалась все отчетливее. Такие парадоксы, по мнению логиков, возникают из-за двусмысленных и неопределенных выражений естественного языка и поэтому требуют особого логического анализа языка.
Разработку логицизма взял на себя Б. Рассел. Он пришел к построению оригинального варианта аксиоматической теории множеств и к последующей попытке сведения математики к логике. Изучение причин парадоксов и поиск выхода из них Рассел тесно связал с разработанными им идеями логического языка. Поиску выхода из тупиков для математики Б.Рассел отдал двадцать лет работы, увенчавшейся созданием - в соавторстве А.Уайтхедом - трехтомного исследования Principia mathematica. Авторы стремились осуществить замысел Фреге о сведении чистой математики к логике, наведя более строгий порядок в самой логике.
Выход из логических парадоксов, казалось бы, был найден в четком разделении логических типов (категорий) и установлении запретов на такие подстановки аргументов, которые ведут к бессмысленности логических функций.
Другой школой обоснования математики, школой отчасти вышедшей из логицизма стал формализм. Его принципы были разработаны талантливым математиком и логиком Давидом Гильбертом (1862-1943гг.) в 1922-39 годах.
Формализм в логике и математике отталкивался от представления, что чистая математика есть "логический синтаксис" - наука о формальных (не наделенных конкретным смыслом) структурах символов. Одной из своих целей школа ставила доказательство того, что манипуляция символами по строгим правилам не дают противоречий, что весьма сближало ее с логицизмом.
Позднее Гильберт предложил более продуманный и обширный план обоснования математики путем ее полной формализации. Решение задач обоснования логики и математики он связал теперь с метаматематикой (специальной теорией доказательства), позволяющей придать обеим дисциплинам вид исчислений. Непротиворечивость должна достигаться ценой отказа от каких бы то ни было намеков на понимание актуальной бесконечности, которая как выяснилось, была "повинна" в возникновении антиномий.
Однако формализм столкнулся с теми же серьезными трудностями, что и логицизм. Поскольку программы эти во многом близки: в обеих возлагались большие надежды на строго аксиоматическое построение основ математики (идеал логической строгости, уходящий корнями еще в античность) и полную формализацию знания (его выражение в искусственной символике и подчинение всех преобразований знаковых выражений четко выявленным правилам).
Но вскоре обнаружился серьезный кризис обеих программ, разразившийся после публикации статьи К.Гёделя "О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных ей систем"(1931).Результаты Гёделя опровергали центральную предпосылку и логицизма и формализма, допускавшую, что для каждой отрасли математики может быть указана совокупность аксиом, достаточных для выведения всех остальных положений.
Из работ Гёделя следовало, по крайней мере, два вывода: 1) что для большей части математики невозможна окончательная аксиоматизация; 2) что для многих важных отраслей математики не существует бесспорного доказательства их внутренней непротиворечивости.
Работа Гёделя давала надежду, что математические теоремы, недоступные строгой аксиоматизации, могут быть, тем не менее, установлены менее формальным математическим (содержательным) рассуждением. Этот вывод имел серьезный философский смысл и предполагал далеко идущие следствия - отказ от многих иллюзий в понимании природы математики, формирование более реалистической концепции математического знания.
Основателем интуиционизма был голландский математик Лейтцен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966гг). Интуиционизм отрицает базисный характер логики по отношению к математике, а последним основанием математики и логики признаёт интуитивную убедительность. Постулатом здесь стала мысль о том, что возможность "построения" бесконечного числового ряда есть "базисная интуиция" человеческого сознания. В основу своего подхода к математике интуиционизм кладет понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математических объектов как принципиальной возможности их построения. При этом была решительно отвергнута идея актуальной бесконечности, одна из основных в классической математике и логике.
В программе интуиционизма акцентировалась не столько идеальная ("божественная"), сколько человечески земная, социальная природа всякого, в том числе и математического познания.
С 1904 года Брауэр последовательно проводил критику так называемых чистых математических доказательств существования, опирающихся на логический принцип исключенного третьего. Это в конечном итоге и положило начало математическому интуиционизму как целому направлению в обосновании математики. С точки зрения крайнего интуиционизма основополагающие теоремы анализа и следствия из них, в которых использовался принцип непротиворечия, примененный к бесконечным множествам, и аксиома выбора, отвергались как неприемлемые.
Чтобы понять природу биологического познания необходимо обозначить предмет исследования и то, на чем основано познание (методы исследования).
Комплекс биологических наук изучает мир живого, закономерности живых систем (современное представление). Причем в ходе развития биологии и других наук о живом происходило изменение их предмета исследования:
Так, на первых этапах развития биологии целью исследования был организм, соответственно предмет биологической науки описывался на организменном уровне.
Возникновение представлений о виде расширило понимание предмета биологии. Вид и популяция предстали как целостные биологические объекты, имеющие свои собственные закономерности построения, функционирования и развития. Формирование понятий о биоценозах, экосистемах, биосфере еще больше расширяют предмет биологической науки до надорганизменного уровня. Биология перешла к биосферному и популяционному мышлению.
Сходный процесс расширения предмета идет и в глубь организма в настоящее время. Это происходит при активном использовании физики, химии, и других точных наук. Следовательно, образуются новые интегративные, но по своему статусу биологические науки – биофизика, биохимия.
Таким образом, в предмет биологии включились все уровни организации жизни – организменный, надорганизменный (популяционно-видовой, экосистемный) и суборганизменный (молекулярный, клеточный). Далее добавилось обращение биологии к проблеме человека (выяснение роли природных факторов на жизнедеятельность человека и др.). Биология стала включенной в решение реальных проблем развития общества. У современной биологии появились новые стратегические направления развития исследовательской деятельности, а именно проектирование, конструирование биообъектов, управление живыми системами, прогнозирование. Это отразилось в таких направлениях как генная инженерия, клеточная инженерия, биотехнология.
Методология представляет собой основание любого научного познания. Методология биологии представляет собой систему принципов и способов организации и построения теоретической и практической деятельности в сфере жизни.
Исторически познание живой природы началось с наблюдений. Начинаясь с наблюдения, оно продолжается на уровне мыслительных процедур, таких как:
описание (как с помощью терминов языка (естественного), так и наглядным образом — с помощью рисунков, схем и др.)
систематизация на основе определенных выделенных признаков объектов (одной из форм систематизация на основе систематизации является классификация, когда выбор признаков связан с выделением существенных сторон объекта);
сравнение, позволяющее выявлять законы объекта путем сопоставления существенных характеристик объекта (высокая эффективность метода сравнения вызвала к жизни такие науки, как сравнительная анатомия, сравнительная морфология, сравнительная физиология, сравнительная систематика и др.).
То есть содержательной основой знания признавался чувственный опыт в виде наблюдения. Только со временем появляются методы экспериментального изучения, начинают использоваться статистические методы, применятся приборы.
важнейшим достижением биологии явилось представление о том, что природа живого может быть понята и объяснена только через знание его истории. Теория Ч. Дарвина ввела в биологию эволюционный исторический метод как доминирующий метод научного познания.
(Эволюция – направленное изменение любого процесса, системы, предмета, имеющее необратимый характер. Как правило, происходит постепенно путем накопления большого количества микроизменений.)
В результате представление о системности в живой природе, формируется принцип системности. Системное воспроизведение объекта предполагает выявление единства в предметном многообразии живого, определении связей.
на идеи организации живой природыбылоснован организационный подход, который предлагал изучать мир путем вычленения организационных законов.
Еще один подход коэволюционный основан на идеи коэволюции. Процесс коэволюции как совместного сопряженного развития систем с взаимными селективными требованиями был обнаружен и изучен в биологии уже весьма давно. Изначально коэволюцию рассматривали как процесс, призванный объяснить лишь различные виды симбиотических отношений: хищник-жертва, паразитизм, комменсализм и др. Однако идея коэволюции приобретает универсальный характер. С концепцией коэволюции человека и биосферы в отечественной литературе первым выступил Н. В. Тимофеев-Ресовский в 1968 году. Имеет место коэволюция идей, что наглядно демонстрирует развитие молекулярной биологии.
Некоторые философско-методологические проблемы биологии:
природа, структура, особенности биологического познания и знания;
сущность биологического закона;
как устроена научная теория, можно ли в биологии отыскать сходные единицы, которые были обнаружены в структуре физического знания;
о взаимодействии методов исследования биологии и других точных наук;
о соотношении теоретического и эмпирического в биологии.
Специфика этих проблем такова, что они не надстраиваются как философские над биологией, а непосредственно выводятся как проблемы биологического познания, требующие философского осмысления.
Современное философское познание не существует над биологическим. Оно непосредственно выводится из него. Философия рассматривает свой предмет не изолированно от конкретных форм познания, но как результат его, итог взаимодействия субъекта и объекта.
То есть, наука биология сама создает биологическую реальность в процессе исследования живых систем. И эту реальность исследует уже философия биологии с позиций общего характера, разрешения философских проблем.
Биологическая реальность включает в себя:
не просто объективное существование мира живого,
но и активность познающего субъекта.
При этом критерии познавательной деятельности определяются как непосредственными характеристиками объекта, так и социокультурным влиянием, нормами и идеалами. Данное обстоятельство предопределяет историчность понимания предмета биологи