Шпаргалки к экзаменам и зачётам

Основное уравнение гидростатики для капельных жидкостей и газов.

dp = (Xdx + Ydy + Zdz). – уравнение Эйлера

x=0, y=0, z=-g → - gdz=0, - gz=const dp= -gdz

p₂ – p₁ = - ρg (z₂ – z₁), p₂ = p₁ + ρgh - (действ. в поле действия g)

z₁ + p₁/ρg = z₂ + p₂/ρg

Закон Паскаля. P₂=p₁ + ρgh

Для поверх. «Если на поверхности жидкости изменится давление, то она распространяется мгновенно во все точки жидкости».

Основно́й зако́н гидроста́тики (закон Паскаля) формулируется так: «жидкости и газы передают оказываемое на них давление равномерно по всем направлениям».

На основе закона Паскаля гидростатики работают различные гидравлические устройства: тормозные системы, прессы и др.

Закон Паскаля неприменим в случае движущейся жидкости (газа), а также в случае, когда жидкость (газ) находится в гравитационном поле; так, известно, что атмосферное и гидростатическое давление уменьшается с высотой.

Относительный покой жидкости.

Понятие относительного покоя. В предшествующем изложе­нии гидростатики предполагалось, что жидкость находится в по­кое относительно некоторой условно неподвижной системы отсчета (в так называемом абсолютном покое). Неподвижными относительно этой системы предполагаются также сосуды, в ко­торых заключена жидкость. При таком предположении и полу­чено основное уравнение гидростатики.

Перейдем к рассмотрению так называемого относительного по­коя жидкости. Под этим определением подразумевается, что части­цы жидкости, заключенной в некотором сосуде, не имеют перемещений друг относительно друга и вся масса жидкости покоит­ся относительно стенок сосуда, следовательно, относительно жестко связанных с сосудом координатных осей, в то же время сосуд пере­мещается произвольным образом относительно неподвижной систе­мы отсчета.

Из основ механики известно, что законы, описывающие абсолют­ный или относительный покой (а также абсолютное или относитель­ное движение), не различаются между собой, если подвижная система отсчета перемещается относительно неподвижной инерциальным образом, т.е. прямолинейно и равномерно. Рассмотрим два примера относительного покоя жидкости.

Относительный покой однородной жидкости в цилиндриче­ском сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси. Подвижные координатные оси расположим так, что ось Oz направлена верти­кально вверх (рис. 2.17). Сосуд, благодаря трению, вовлекает в дви­жение наполняющую его жидкость и по истечении небольшого промежутка времени, после начала вращения, жидкость также на­чинает приходить во вращение с той же угловой скоростью, что и сам сосуд. Таким образом, в дальнейшем жидкость покоится относи­тельно сосуда, что позволяет применить уравнения гидростатики, но в координатах, жестко связанных с сосудом, т.е. вращающихся в пространстве.

Приложенными к частицам жидкости массовыми силами являют­ся по-прежнему силы тяжести, параллельные оси z; силами инерции F_и в переносном движении в данном случае являются центробежные силы, перпендикулярные к оси z, имеющие ускорение (ω²r), где r = √(x² + у²) есть расстояние данной частицы жидкости от оси враще­ния. Проекциями ускорения равнодействующей этих сил на оси ко­ординат будут X=│F_и/m│_x= ω²x ; Y=│F_и/m│_y= ω²y ; Z=│F_и/m│_z= ω²z ;

Подставляя эти выражения в (2.8), найдем дифференциальное уравнение поверхностей уровня

ω²(xdx + ydy) – gdz =0. (2.21)

Интегрируя это уравнение, получим ω²/2(x² + y²) – gz =const или ω²r²/2 - gz = const (2.22)

Из (2.22) следует, что поверхности уровня (в том числе и свобод­ная поверхность) являются параболоидами вращения (см. рис. 1.17) вокруг оси z.

Напомним, что распределению давления в несжимаемой жидко­сти соответствует зависимость (2.4).

dp =p(Xdx+Ydy + Zdz),

а в данном случае dp = р [ω² (xdx + ydy) - gdz ],

отсюда (после интегрирова­ния) можно получить

р = р ω²r²/2 - pgz+c. (2.23)

Поместим начало подвиж­ных координат в точку «О» пе­ресечения оси z со свободной поверхностью. Тогда постоян­ная интегрирования опреде­лится из граничного условия р = р₀ при r = 0 и Z= 0. Подста­вив эти значения в (2.23), получим const = р₀, следовательно р = р₀ +р* ω²r²/2 - pgz. (2.24)

Последнее уравнение выражает закон распределения давления в жидкости.

Из уравнения (2.24) видно, что давление в некоторой горизон­тальной плоскости z=const по мере увеличения радиуса увеличива­ется по сравнению с гидростатическим, вычисленным для неподвижного сосуда, на величину p *ω²r²/2 , т.е. тем сильнее, чем больше число оборотов сосуда. Этим пользуются в технике в случа­ях, когда надо увеличить на некоторый период времени давление внутри массы жидкости (увеличение давления, зависящее от значе­ния центробежной силы, лежит также в основе работы центробеж­ных насосов).