Шпаргалки к экзаменам и зачётам

Геометрическая вероятность. Задача о встрече.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l / Длина L.

З а м е ч а н и е 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g — часть области G, равна

Р = mes g / mes G.

З а м е ч а н и е 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю): справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Задача о встрече:

Два лица и условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение.   Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть («кси») и («эта»)  —  моменты прихода и (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента  –  множество точек квадрата со стороной 1:  .

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества (10 минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество наудачу брошенной в квадрат точки означает, что и встретятся. Тогда вероятность встречи равна