Неравенство Чебышева
Пусть имеется случ величина Х, заданная mx и D(x). Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат ожидания не меньше, чем на α, ограничено сверху величиной:
Д-во:
|
X |
x1 |
… |
xn |
|
P |
p1 |
… |
pn |
Возьмем произвольное положительное число α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего mx не меньше чем на α.
Вероятность 
, т.е. надо просуммировать вероятности значений, которые не лежат на AB.
Т.к. не все члены суммы не отрицательны, то D(x) можно уменьшить , взяв не все значения xi:
что и требовалось доказать.
Теорема Чебышева
Среднее арифметическое (
, my=mx, D(y)=D(x)/n) случ величины Х есть случ величина с очень маленькой дисперсией и при достаточно большом n ведет себя как не случ.
Теорема Чебышева:
При достаточно большом числе независимых опытов, среденее арифметическое наблюдаемых значений случ величины сходится по вероятности к ее mх.
P(|xn-a|<ε)>1-δ, ε, δ -> 0.
P(|(∑xi/n) - mx|1-δ
Д-во:
Y=∑xi/n, my=mx, Dy=Dx/n.
Применим к случ величине Y неравенство Чебышёва.
P(|y-my|≥ε)≤Dy/ε²=Dx/nε².
P(|(∑xi/n)-mx|≥ε)≤δ
P(|(∑xi/n)-mx|<ε)>1-δ
Обобщенная теорема Чебышева и теорема Маркова.
Обобщенная теорема Чебышёва:
Если х1…хn независимые случ величины, заданные своими мат ожиданиями и дисперсиями, и сами все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L (D(x)<L), то при возрастании n ср. арифметическое наблюдаемых значений сходится к среднему арифметическому их мат ожиданий:
P(|(∑xi/n) – (∑mxi/n)|<ε)>1-δ;
Теорема Маркова:
Если имеются ЗАВИСИМЫЕ случ величины х1..хn и если при n->∞ выполняется условие 
, то среднее арифметическое наблюдаемых значений случ величины Х сходится к среднему арифметическому их мат ожидания.